函数 极限 连续
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函数
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基本要素：定义域，对应规则
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函数形态
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单调性 判定
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定义
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导数，
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单调性 应用
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根的个数
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证明不等式
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奇偶性 判定
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定义
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可导
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原函数奇函数>导函数偶函数
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原函数偶函数>导函数奇函数
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连续
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周期性 判定
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定义
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可导的周期函数其导函数是周期函数
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周期函数的原函数不一定为周期函数
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f(x)连续且以T为周期
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周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0
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有界性 判定
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定义
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闭区间连续
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开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在
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导数
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极限
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概念
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数列极限
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极限值等于多少与数列前有限项无关
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与项数无关
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函数极限
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趋于无穷
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趋于有限值
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极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关
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分左右极限求
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分段函数在分段处极限，两侧极限不一样
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特殊函数
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2
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性质
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局部有界性
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保号性 注意等号
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与无穷小之间的关系
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极限存在准则
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夹逼
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单调有界
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单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界
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无穷小
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比较
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性质
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无穷大
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常用无穷大比较 指幂对（大到小）
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无穷大与无界变量
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与无穷小互为倒数
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求极限方法
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有理运算法则
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基本极限
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等价无穷小
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常用
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积分情况
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代换原则
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乘除直接换
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加减有条件 减不为正 1 ，加不为－1
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洛必达
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泰勒公式
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常用
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夹逼
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积分定义 ：先提取可爱因子 再确定被积函数和积分区间
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单调有界
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函数极限题型
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0/0 0比0型
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拉格朗日中值定理
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加减 x 来凑常用等价无穷小
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无穷 / 无穷
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洛必达
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分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大
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无穷 — 无穷
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0 · 无穷
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1 的 无穷次方
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无穷的0次方，0的无穷次方
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数列极限
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不定式
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和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数列极限写成函数极限，再使用洛必达极限
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n 项和的数列极限
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夹逼定理
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定积分定义
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级数求和
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常用结论
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n 项连乘的数列极限
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夹逼
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取对数化为n项和
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递推关系
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数列存在单调性
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收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A
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数列不具有单调性或者单调性很难判定
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先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A
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单调性判定（直接，比值，函数）
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无穷小量阶的比较
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洛必达
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等价无穷小
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泰勒公式
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常用结论及举例
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连续
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连续
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间断点
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连续函数的性质
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连续题型
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讨论连续性及间断点类型
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函数连续不代表可以取到整个实域的所有值
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如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排除选项，如函数等于1，|x|等
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间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点
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介值定理，最值定理，零点定理证明
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一元函数微分
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导数 微分
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导数定义
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等价形式
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注意分段函数
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微分定义
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连续、可导、可微之间的关系
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求导公式
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求导法则
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有理运算法则
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复合函数求导
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隐函数求导
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反函数求导
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参数方程求导
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高阶导数
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对数求导法则
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多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导
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题型：导数与微分的概念
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利用导数定义求极限
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利用导数定义求导数
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分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求
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利用导数定义判定可导性
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导数几何意义
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导数与微分计算
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复合函数求导
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导数与奇偶性
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复合函数在一点的导数值
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乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以
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高阶导数
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公式
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一阶二阶之后归纳
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泰勒公式和泰勒级数
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导数应用
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微分中值定理
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罗尔定理
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拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系
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柯西定理
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泰勒定理（拉格朗日余项）
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极值 最值
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极值的必要条件
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极值的充分条件
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第一充分条件
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第二充分条件
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第三充分条件
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凹向 拐点
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判定
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必要条件
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充分条件
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渐近线
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水平渐近线
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垂直渐近线
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斜渐近线
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方程的根的存在性及个数
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方法
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注意把函数化到一边来求零点
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将含有参数的式子参数分离出来
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罗尔定理
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证明函数不等式
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方式方法
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单调性
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最大最小值
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拉格朗日定理
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泰勒公式
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凹凸性
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注意以及常用基本不等式
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不等式
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微分中值定理有关的证明题
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证明存在一个点
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构造辅助函数 P 82
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证明存在两个中值点 p 85
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方法
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证明存在一个中值点 p 87
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带拉格朗日余项的泰勒公式
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一元函数积分
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不定积分
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原函数
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原函数的存在性
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f（x）在区间连续，有原函数
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有第一类间断点，f（x）没有原函数
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基本公式
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公式
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积分法
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第一类换元法
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第二类换元法
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分部积分
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定积分
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概念
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与积分变量无关
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可积性
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必要条件 存在必有界
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充分条件
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连续必存在
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有界，有限个间断点必存在
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有限个第一类间断点必存在
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计算
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方法
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奇偶性和周期性
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公式 sin cos 公式 注意上下限
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变上限积分 p 105
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公式
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变上限积分函数及其应用
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连续性
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可导性
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奇偶性
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处理变上限积分有关极限问题方法
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洛必达法则
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等价无穷小代换
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积分中值定理
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图像
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性质
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不等式
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大小
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积分中值定理
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广义积分中值定理
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积分不等式问题
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变量代换
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积分中值定理
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变上限积分
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柯西积分不等式
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反常积分
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定义
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无界函数
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常用结论
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定积分应用
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平面图形面积
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空间体体积
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计算
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曲线弧长
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计算 就是计算 d s
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旋转体侧面积
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常微分方程
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一阶
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齐次
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线性方程
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全微分方程
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可降阶的高阶方程
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形式
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高阶线性微分方程
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解的结构
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定理一
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定理二
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定理三
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定理四
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常系数齐次线性微分方程
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二阶常系数线性齐次微分方程解的形式
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常系数非齐次线性微分方程
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求特解
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一
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二
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多元函数微分
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重极限
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任意方式趋近时，函数都是一个值才可以，否则极限不存在
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y = k x y = x x (x的方)
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求重极限
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连续
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性质
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偏导数
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定义
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代表斜率
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二阶偏导数连续
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全微分
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定义 非常重要
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等价
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注意，这个 ρ 的高阶无穷小是关于 ρ 的函数，但是里面的 ρ 一般最低是 1 次方（此时需要刚好为0值），是高次方的时候直接使用
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可微性判定
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可微 推出 偏导数存在
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偏导数连续 推出 可微
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可微推出偏导数存在 偏导数连续推出可微
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计算
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连续、可导、可微关系
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偏导数与全微分计算
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复合函数求导
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全微分形式不变
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隐函数求导
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极值最值
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无条件极值
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定义 对任意p（x,y）
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必要条件 存在偏导，且点就是极值点
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充分条件 领域内有二阶连续偏导，一阶导为0
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二元函数在偏导数不存在的点也可能取得极值
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条件极值 二元函数的条件极值转换为三元函数的无条件极值计算
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二重积分
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二重积分概念
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几何意义 积分域D为底，曲面 z=f(x,y) 为曲顶的曲顶柱体的体积
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二重积分性质
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不等式性质
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函数之间的关系
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最大最小值
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绝对值
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二重积分计算
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直角坐标
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先 y 后 x
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先 x 后 y
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极坐标
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极坐标计算
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适合极坐标计算的被积函数
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适合极坐标计算的积分域
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对称性和奇偶性
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奇偶性
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变量对称性
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无穷级数
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级数的概念
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无穷级数
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部分和
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级数收敛
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级数发散
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级数性质
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收敛级数的倍数是极限s的倍数
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收敛级数的求和
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级数求和
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收敛 ＋ 发散 = 发散
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发散 ＋ 发散 = 敛散性不确定
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在级数中去掉、加上有限项不会改变级数的敛散性
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收敛级数加括号仍然收敛且和不变
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级数加括号以后收敛，原级数不一定收敛
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级数加括号以后发散，原级数不一定发散
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级数收敛必要条件（反过来不一定成立）
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级数的审敛准则
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正向级数 u n > 0
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比较判别法
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比较法极限形式
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使用比较法和比较法的极限形式时，需要适当的选择一个已知敛散性的级数作为比较准则
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比值法
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根值法
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交错级数
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充分条件
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任意项级数
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条件收敛
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绝对收敛
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基本结论
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常用结论
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等价无穷小代换只适用正向级数
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幂级数
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定义
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阿贝尔定理
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绝对收敛（端点收敛则里面收敛）
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发散（端点发散则外面发散）
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可能性
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收敛半径、收敛区间、收敛域
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定理3
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定理4
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有理运算性质
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运算
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分析性质
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连续性
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可导性（逐项求导）
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可积性
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函数的幂级数展开
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展开式唯一
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泰勒级数
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常用展开式
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傅里叶级数
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定义
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展开
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方向导数和梯度
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方向导数
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定义
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计算
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梯度
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定义
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多元微分几何应用
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曲面的切平面与法线
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曲面的切线和法平面
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常见曲面
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旋转面
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柱面 平行于 z 轴就是消去 z
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多元积分学
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三重积分
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定义
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计算
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直角坐标
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柱坐标
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线积分
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对弧长的线积分（第一类）与积分路径无关
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计算（平面）
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利用奇偶性 曲线关于哪个轴对称，就把哪个变量当作常数，然后来看另外一个变量的奇偶性
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利用对称性 x y 可以互换
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对坐标的线积分（第二类线积分）与积分路径有关
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计算方法
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直接法
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格林公式
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补线用格林公式
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利用线积分与路径无关
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线积分与路径无关的判定 以下四条等价
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计算
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该换路径
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利用原函数
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计算方法
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斯托克斯公式
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面积分
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对面积的面积分（第一类面积分）与积分曲面的方向无关
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直接法
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利用奇偶性
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对坐标的面积分（底二类面积分）与积分曲面的方向有关
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性质
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计算
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直接法
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高斯公式
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常用
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多元积分应用
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场论
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